Modelo LEP con faltante

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En este modelo se plantea que al inicio del ciclo se tiene un déficit de inventario o faltante, pero en este mismo punto se inicia la producción de inmediato. La tasa de producción y al demanda de unidades ocurren al mismo tiempo, pero la primera es mayor que la segunda por esto la pendiente de la recta de inventario es positiva. una vez se hayan producido las unidades requeridas, se llega al inventario máximo y al producción se detiene, para que la demanda agote el inventario existente y cuando se llegue de nuevo al déficit de inventario o faltante, se inicia de nuevo la producción.

Supuestos:

• Se tiene una tasa finita de producción, en donde el lote se entrega a través del tiempo de acuerdo con la velocidad de producción.
• La tasa de producción o velocidad de fabricación R debe ser mayor que el consumo de la demanda D, R>D.
• Tanto la demanda como la tasa de producción y los faltantes son constantes.
• Se permite que existan faltantes y se cumplan las órdenes atrasadas, suponiendo que exista un nivel mínimo de atraso que la administración esta dispuesta a tolerar.
•  Los faltantes ocurren en los sistemas de producción debido a la falta de material, falta de capacidad o ambas.
• Ya no se habla de costo de pedir, ahora es costo de producir o costo de operación Cop; se mantiene el Cmi.

La siguiente figura muestra el comportamiento del inventario:

1= El inventario llega a cero, Inicio de la producción.

2= Se alcanza el inventario máx. y se detiene la producción.

T1= tiempo en que la producción está encendida y se alcanza Imax.

T2= tiempo que la producción está apagada y se agota todo el Imax.
T3=Tiempo acumulado de pedidos pendientes con la producción encendida.
T4= Tiempo en disminuir el faltante, desatraso de pedidos.

T= tiempo entre inicios de la producción.

R= Tasa de producción.

D= Índice de demanda.

La función costo de inventario en un ciclo se expresa:

Para expresar la función costo solo en términos de Q y S, se deben hacer las siguientes relaciones geométricas:


Imax= T1*(R-D) ,  Imax= T2*D, Imax= Q-S;
como T1+T4=(Q/R) --> Imax-S= (Q/R)*(R-D).
T3=S/D , T4= S/(R-D).


Entonces reemplazando T1, T2, T3, T4, Imax; la función de costo es:

 Luego al multiplicar toda la expresión por N y simplificar, se obtiene la función costo de total inventario anual:

Ahora derivamos CTA con respecto a Q y S, igualamos a cero las derivadas, Resolvemos el sistema de ecuaciones y tenemos que: 

Referencias:
Tomado de clase magistral de Investigación de operaciones 2

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Modelo LEP sin faltante

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En el LEP sin faltante ( lote económico de producción), el abastecimiento se produce a través de una corrida de producción y esta producción requiere un tiempo considerable para ser terminada pero, luego la producción se detiene cuando hay exceso de producción y solo se inicia cuando el inventario llega a cero.

Supuestos:

Además de compartir muchos supuestos con los modelos anteriores, tiene nuevas características:

• No se admiten faltantes.
• La tasa de producción o velocidad de fabricación R debe ser mayor que el consumo de la demanda D, R>D.
• Ya no se habla de costo de pedir, ahora es costo de producir o costo de operación Cop; se mantiene el Cmi.
• Existen 2 tiempos dentro del ciclo, mientras la producción esta encendida y otro mientras está apagada.

Esta gráfica representa el comportamiento del inventario con LEP sin faltante.

Donde:

1= El inventario llega a cero, Inicio de la producción.

2= Se alcanza el invetario máx. y se detiene la producción.

T1= tiempo en que la producción está encendida.

T2= tiempo que la producción está apagada.

T= tiempo entre inicios de la producción.

R= Tasa de producción.

D= Índice de demanda.

La función costo de inventario en un periodo será entonces,

; ahora se debe expresar esta ecuación en términos de Q, para esto se hacen los siguientes cambios:

Imax = T1*(R-D)  y T1= Q/R,  --> Imax = (Q*(R-D)/R).

T1 + T2 = T  --> T = Q/D.

Ahora la función costo es:

 , Reduciendo términos y multiplicando por N para determinar la función costo total anual de inventario se obtiene:

Como se busca reducir al máximo posible los costos de inventario anuales, es necesario encontrar el Q óptimo Q*; esto se logra derivando CTA con respecto a Q y luego igualando a cero, para encontrar la fórmula de Q* así, 

Al despejar Q de la ecuación se tiene que:

por lo tanto,

Referencias:
Tomado de clase magistral de Investigación de operaciones 2

Modelo EOQ con faltante

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Existen algunas situaciones en las que se admiten faltantes en el inventario, que se repondrán con el próximo  abastecimiento. Si los clientes aceptan que haya faltantes, es decir, que su pedido se satisfaga después; cuando no se tiene un artículo en almacén; por ahorrar dinero en el tiempo de preparación se pida un lote que no alcance para cubrir todo el ciclo. En estos casos el inventario puede reducirse y a cada unidad faltante se le asocia un costo agregado por faltantes, de manera que se desea tener algún inventario.

Supuestos:

• El índice de demanda con respecto al tiempo es constante.
• Siempre se pide la misma cantidad Q.
• El costo unitario no varía ni en el tiempo ni por el volumen del pedido.
• Se admiten faltantes, siempre en la misma cantidad.
• Este modelo de inventario se aplica a empresas de tipo comercial, que compran y venden mercancía por lotes.
• Los costos anuales de inventario comprenderán ahora los costos de ordenar, los de mantenimiento y los de faltantes.

La siguiente gráfica muestra el comportamiento del inventario a través del tiempo:

Nota: ‘Para la expresar la función de costo de inventario, esta debe estar en términos de las cantidades Q y del faltante S’.

 La expresión de costo de inventario en un ciclo es:

Donde Imax es el inventario máximo, Cf es el costo por faltante, S la cantidad de faltante, T1 el tiempo en que D agota el inventario y T2 el tiempo en que se acumulan los pedidos por falta de inventario.

Del  gráfico se observa que Inventario máximo, corresponde a la resta de Q menos el faltante S;  Imax = Q-S.

Por semejanza de los triángulos  ∆ Q,T,D  y  ∆ Imax,T1,D se tiene que:

T1 = (Imax*T)/Q, y como se sabe T= Q/D, al reducir términos se obtiene la expresión T1 = ((Q-S)*(Q/D))/(Q) ->  T1 = (Q-S)/D.

También por semejanza de triángulos ∆ S,T2,D  y  ∆ Imax,T1,D se tiene que:

T2= (S*T1)/Imax ,  al expresarlos en términos de Q y S tenemos,

T2= (S/(Q-S))*((Q-S)/D))   ->   T2= (S/D).

Ahora se pude expresar C'(Q,S) así:

, reduciendo términos.

,Para obtener la función costo Anual de inventario  se multiplica N. N=D/Q.

Ahora es necesario hallar las expresiones Q* ( Q óptimo) y S* ( S óptimo), que minimicen la función CTA y así lograr el menor costo de inventario anual. Al igual que se hizo para EOQ sin faltante, se debe derivar CTA conrespecto Q pero, también con respecto a S, es decir se obtendrán 2 derivadas parciales, las cuales al igualarse a cero y resolver el sistema de ecuaciones dará como resultado la fórmula de Q* y S*. entonces tenemos:

Al resolver el sistema de ecuaciones,

Referencias:
Tomado de clase magistral de Investigación de operaciones 2

 

Modelo EOQ sin faltante

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El  EOQ sin faltante (Economic order quantity) o cantidad económica a ordenar, es el modelo de inventario más sencillo que existe. Este modelo de inventario se aplica a empresas de tipo comercial, que compran y venden mercancía por lotes.

Supuestos:

• El índice de demanda a través del tiempo es constante.
• Hay abastecimiento de inventario cuando este llega a cero.
• El abastecimiento es inmediato, no hay tiempo de adelanto.
• La cantidad a pedir es constante. 
• Los costos no varían con el tiempo.
• EL precio unitario siempre es el mismo sin importar las cantidades del pedido, no existe descuento por volumen.  

El inventario se comporta como se muestra en el siguiente gráfico:

Donde D es la demanda por unidad de tiempo, Q las cantidades o unidades a ordenar  y To es el tiempo en que la demanda agota el inventario y hay abastecimiento inmediato. considerando que la demanda D se anual  (demanda/año) tenemos que:

La demanda anual D es igual a la cantidad del lote Q entre el To,     D =Q/To.

Entonces el To será igual a la cantidad del lote Q entre D,               To =Q/D.

El número de pedidos en un año N es igual a la demanda entre La Q, N = D/Q.

La función costo de inventario, nos permite conocer los costos en que se incurre al hacer el pedido y  se expresa en términos de Q:

C'(Q)  = C. adquisición + C. de total pedir   +  C. de mantener inventario

                   Total                                                              promedio

Donde Cu es el costo unitario, Cp es el costo de pedir y Cmi es el costo de mantener el inventario.

Si se multiplica N a ambos lados de la igualdad obtendremos la función costo total anual del inventario:

reduciendo términos obtenemos,

  

Al analizar el comportamiento de los costos dentro de esta función se puede determinar que el costo de adquisición solo varía por Q y es independiente de los otros de los demás; en cambio el costo de pedir y el costo de mantener el inventario, además de depender de Q, tienen una relación entre ellos, a medida que aumenta el costo de pedir disminuye el costo de  mantener el inventario aumenta y viceversa. En la siguiente figura se muestra como se comporta Cp, Cmi y CTA:

Cuando Cmi = CP, en el punto de intersección de las 2 curvas, se ecuentra el Q óptimo, ya que es el Q que lleva la función CTA al mínimo.

Por lo tanto para obtener la formula que cálcular el Q óptimo debemos derivar la función CTA, posteriormente igualar  a cero y así hallar el mínimo así.

, Al reducir los terminos de la expresión se obtiene eñ Q optmimo o Q*,

por lo tanto,


Referencias:
Tomado del libro: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES UNA INTRODUCCIÓN; Hamdy A. Taha; Sexta edición.
Tomado de clase magistral de Investigación de operaciones 2

CLASIFICACIÓN DE INVENTARIOS Y MODELOS DE CONTROL DE INVENTARIO

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Los inventarios se clasifican según la naturaleza de la demanda en:

• Demanda dependiente: es aquella que se encuentra vinculada a la demanda de otros productos. Entre el mercado y los bienes demandados  median otros bienes, por ejemplo la demanda de procesadores depende de la demanda de computadoras.

• Demanda independiente: es la que viene determinada directamente por el mercado. Demanda de artículos demandados por el mercado de manera inmediata (productos terminados, refacciones, etc.); este suele ser un número con mucha incertidumbre.

Aunque existen muchas semejanzas en todos los sistemas de inventario, cada sistema es único para excluir la utilización de un modelo general de decisión de inventarios para todas las situaciones.

Inicialmente este estudio de IO estará enfocado en los inventarios de demanda independiente:

Referencias:
Tomado del libro: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES UNA INTRODUCCIÓN; Hamdy A. Taha; Sexta edición.
Tomado de calse magistral de investigación de operaciones 2

GESTIÓN DE INVENTARIO

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El desarrollo del primer modelo de inventario se le acredita a Harris (1915). Raymond (1931) Extendió el trabajo de Harris a comienzo de los años 1930. Particularmente desde la segunda guerra mundial.

Una de las primeras aplicaciones de los métodos cuantitativos para la toma de decisiones gerenciales han sido los modelos de inventarios. Ya que, los inventarios usualmente representan un porcentaje considerable de capital total invertido en una organización de negocios, a menudo más del 25% . Con dinero invertido en inventarios hoy en día, el control adecuado y la administración de ellos puede traer ahorros considerables a una compañía.

cuántas unidades se deben pedir y cuando se deben pedir.En la mayoría de negocios o industrias generalmente se mantiene un inventario razonable, para evitar que se interrumpan las operaciones, el inventario se considera como un mal necesario, ya que hay que tomar un decisión adecuada sobre este; si hay muy poco causará costosas interrupciones pero, por otro lado tener demasiado aumenta los costos de almacenamiento.

• Definición de inventario: El inventario es el almacenamiento de bienes y productos como provisión de materiales y de subcomponentes que tiene por objeto facilitar la producción o satisfacer la demanda de los clientes.Por lo  general, los inventarios incluyen materia prima, productos en proceso y artículos terminados, Aunque también se considera inventario a los artículos que se compran para el comercio.

¿Por qué existe el inventario?
Por la sencilla razón que existe un tiempo entre el momento en que se hace el pedido hasta la respuesta de los proveedores, en otras palabras no se tiene una respuesta instantánea de abastecimiento por parte de los proveedores, por esto hay que manejar un inventario hasta que llegue el pedido.

¿Para qué se usa el inventario?

Existen varias razones por las que se deben manejar inventario en la empresas:

1. Independizar las etapas en producción, ya que existe un inventario de partes en proceso entre las diferentes etapas de producción. 
2. Asegurar las operaciones de la organización, si llega a ocurrir una variación no pronosticada de la demanda o para protegerse de la escasez.
3. Atender oportunamente al cliente cuando requiera el producto, si se acaba el inventario antes de abastecimiento se detendrán las operaciones.

Los inventarios están presentes en muchas etapas de la operación de la empresa, la siguiente figura resume los diferentes eventos logísticos de una empresa y el tipo de inventario que manejan:

Modelo general de inventario:

Cualquier modelo de inventario trata de responder a 2 preguntas,

• ¿Cuántas unidades debe tener?
• ¿Cuándo se debe pedir?

La repuesta a pregunta de ¿cuántas?, se obtienen al minimizar los modelos de costo total de inventario que tienen la siguiente forma:

Todos estos costos deben ser expresados en términos de la cantidad de unidades.

El ¿cuándo? depende del tipo de sistema de inventario que tiene la organización; con la revisión periódica existe un tiempo determinado (días, semanas, meses) en el que se hacen los pedidos al inicio de cada periodo; con la revisión periódica, cada pedido se realizará cuando el inventario llegue a cierto nivel específico llamado punto de reorden.

Tomado del libro: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES UNA INTRODUCCIÓN; Hamdy A. Taha; Sexta edición.