Modelo LEP con faltante

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En este modelo se plantea que al inicio del ciclo se tiene un déficit de inventario o faltante, pero en este mismo punto se inicia la producción de inmediato. La tasa de producción y al demanda de unidades ocurren al mismo tiempo, pero la primera es mayor que la segunda por esto la pendiente de la recta de inventario es positiva. una vez se hayan producido las unidades requeridas, se llega al inventario máximo y al producción se detiene, para que la demanda agote el inventario existente y cuando se llegue de nuevo al déficit de inventario o faltante, se inicia de nuevo la producción.

Supuestos:

• Se tiene una tasa finita de producción, en donde el lote se entrega a través del tiempo de acuerdo con la velocidad de producción.
• La tasa de producción o velocidad de fabricación R debe ser mayor que el consumo de la demanda D, R>D.
• Tanto la demanda como la tasa de producción y los faltantes son constantes.
• Se permite que existan faltantes y se cumplan las órdenes atrasadas, suponiendo que exista un nivel mínimo de atraso que la administración esta dispuesta a tolerar.
•  Los faltantes ocurren en los sistemas de producción debido a la falta de material, falta de capacidad o ambas.
• Ya no se habla de costo de pedir, ahora es costo de producir o costo de operación Cop; se mantiene el Cmi.

La siguiente figura muestra el comportamiento del inventario:

1= El inventario llega a cero, Inicio de la producción.

2= Se alcanza el inventario máx. y se detiene la producción.

T1= tiempo en que la producción está encendida y se alcanza Imax.

T2= tiempo que la producción está apagada y se agota todo el Imax.
T3=Tiempo acumulado de pedidos pendientes con la producción encendida.
T4= Tiempo en disminuir el faltante, desatraso de pedidos.

T= tiempo entre inicios de la producción.

R= Tasa de producción.

D= Índice de demanda.

La función costo de inventario en un ciclo se expresa:

Para expresar la función costo solo en términos de Q y S, se deben hacer las siguientes relaciones geométricas:


Imax= T1*(R-D) ,  Imax= T2*D, Imax= Q-S;
como T1+T4=(Q/R) --> Imax-S= (Q/R)*(R-D).
T3=S/D , T4= S/(R-D).


Entonces reemplazando T1, T2, T3, T4, Imax; la función de costo es:

 Luego al multiplicar toda la expresión por N y simplificar, se obtiene la función costo de total inventario anual:

Ahora derivamos CTA con respecto a Q y S, igualamos a cero las derivadas, Resolvemos el sistema de ecuaciones y tenemos que: 

Referencias:
Tomado de clase magistral de Investigación de operaciones 2

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