CADENAS DE MARKOV ABSORBENTES

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Conceptos iniciales:

• Estado accesible: cuando existe la probabilidad Fji >0 ; de comenzar en un estado j y después de n etapas llegar a un estado i.
• Estado recurrente:  Cuando de comienza en un estado j  y se tiene la certeza de volver en algún momento del tiempo ( n etapas) al estado j, es decir Fjj >0,  probabilidad de salir y llegar después a j es mayor que cero. 
• Estado transciente: Cuando no se tiene certeza de regresar a j si se salio de j en un momento pasado.
• Estado absorbente:  Una vez que se accede a este La probabilidad de quedarse en este estado es de 1 (100%), es decir, no se puiede salir de él.

Los Estados absorbentes  son por definición, Estados recurrentes.

Una CADENAS DE MARKOV ABSORBENTES, es la que tiene un Estado absorbente es su matriz de transición por ejemplo: 

Aquí podemos ver que al llegar al estado 5 no se puede salir del el, por que la probabilidad de volver a el es 1, para todos los periodos, mientras la matriz de transición se mantenga constante. De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se dice que es una cadena absorbente de Markov.

Cuando tenemos situaciones en la que se nos presenta un proceso markoviano regido por una cadena absorbente, podemos obtener información muy importante de esta, como tiempo esperado es el que al comenzar en un estado no absorbente se  pasará a un estado absorbente y la probabilidad de que esto ocurra.

Para poder estudiar las cadenas hay que reordenar la matriz de transición de tal manear que las filas correspondientes a los estados absorbentes aparezcan en último lugar. Así ordenada se dirá que la matriz de transición está en la forma canónica. Podemos dividir la matriz en forma canónica en cuatro submatrices. La matriz identidad I que corresponde a la probabilidad de pasar a un estado absorbente desde uno absorbente, del orden correspondiente. La matriz nula 0 de solo ceros. La matriz A, contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a estados absorbentes. La matriz N, que contiene las probabilidades de estados transitorios a estados transitorios.

Para hallar el tiempo esperado antes que el proceso sea absorbido, consiste en calcular el número esperado de veces que el proceso puede estar en cada estado no absorbente y sumarlos. Para esto se debe restar una matriz identidad I menos la matriz N y a esta matriz resultante sacarle la inversa, lo que nos da como resultado una matriz Fundamental F.

Teniendo que: I+N+N²+N³+ ….. = (I-N)^-1 = F, representa el número esperado de períodos que el sistema estará en cada estado no absorbente antes de la absorción, la suma de cada fila de F representa el promedio de períodos que transcurren antes de ir a un estado absorbente saliendo del estado en esa fila.

Para hallar la probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado. Se construye una submatriz A  formada por la probabilidad de pasar de estados no absorbente a estados absorbentes en un paso, N*A representa la probabilidad de ir de un estado no absorbente a un estado absorbente en dos pasos exactamente y así sucesivamente. Por lo tanto:

A+N*A+N²*A+..... =( I+N+N²+N³+ ...)*A-->  (I-N)^-1.A = F*A= P(A), Y esta  matriz representa la probabilidad en que un estado no absorbente pase a un estado absorbente:

Ejemplo:
La Universidad LA SAPIENZA di ROMA a estudiado el comportamiento genera de sus estudiantes a través de datos recogidos en el departamento de admisiones y registro estudiantil y obtuvo los siguientes datos: 

1.  65% de los estudiantes de nuevo ingreso regresan al año siguiente a realizar el segundo año de ciclo básico, 15% de segundo año retornará como estudiante de nuevo ingreso y el resto Desertará del Alma Mater.
2. B) El 71% de los estudiantes de segundo año volverán al año siguiente como estudiantes de tercer año de estudios ya en la profundización profesional, el 22% regresará a repetir segundo año y el resto no regresara. 
3. C) El 83% de los estudiantes de tercer año regresaran al año siguiente como estudiantes de último año, 9% volverá como estudiante de tercer año y el resto no regresara. 
4. D) El 87% de los estudiantes de ultimo año se graduaran, y el 9% volverá como estudiante de ultimo año y el resto no regresara. Se desea conocer:

a) ¿Cuánto tiempo se espera de estudiantes de primer y segundo año para que puedan graduarse?. 

b) ¿Cuál es la probabilidad de estudiantes de primer y segundo año de graduarse?.

C) ¿Cuál es la probabilidad de un estudiante de tercer y último año de retirarse?

Ejercicio resuelto

Referencias:
Tomado del libro: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES UNA INTRODUCCIÓN; Hamdy A. Taha; Sexta edición.

http://www.sistemas.edu.bo/cbalderrama/sis%202210/PRESENTA%2009/9Markov.pdf

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