Si X1, X2,..., Xi (i = 1,2,...,n); representan los estados mutuamente excluyentes de un sistema en un determinado periodo T. Al principio en T0 el sistemas esta en cualquiera de estos estados; teniendo que ai(T0) (i = 1,2,...,n) sea la probabilidad absoluta que el sistema se encuentre en el estado Xi en T0 y suponiendo que el sistema es markoviano, se define que:
Es la probabilidad de un paso de ir de un estado del estado j en Tn-1 al estado i en Tn. Ahora sumamos que las probabilidades son estacionarias a través del tiempo (no cambian al pasar el tiempo). Las probabilidades de transición de pasar de un estado Xj a un estado Xi, se agrupan de manera matricial en la matriz de transición(T):
También es conocida como matriz estocástica, porque todas las probabilidades de transición Pji son fijas son fijas e independientes en el tiempo, cada Pji significa la probabilidad de pasar del estado j al estado i en el siguiente periodo.
La matriz T debe cumplir con las siguientes reglas:
Debe ser una matríz cuadrada nxn.
La matriz T debe cumplir con las siguientes reglas:
Debe ser una matríz cuadrada nxn.
Si tenemos además de T, un vector Po= (ai(T0)); Po= (a1; a2... ; an) con las probabilidades iniciales de asociadas a los estados Xi, tenemos una cadena de markov. Si multiplicamos matricialmente Po* T= P1, obtenemos el vector de probabilidad de estado siguiente(estado 1 en este caso), dado la matriz de transición; si multiplicamos ahora P1* T= P2, que equivale a multiplicar Po* T* T= P2 que es lo mismo Po* T2= P2, tenemos el estado 2. Para P3= P2* T que equivale a P3= Po* T3 , en general Pn= Po* Tn, donde Pn es el vector de de estado estable, es decir cuando después de n determinados periodos el vector Pn se mantiene constante, no cambia con el tiempo, sin importar del vector en estado inicial del que salió, el vector en estado estable no depende del Po, solo de T.
Para explicar más claramente este concepto se realizará un ejemplo:
- La compañía Telcol de televisión por cable, desea conocer las preferencias del mercado y el comportamiento que tendrá este al futuro, en este mercado existen otros 2 competidores fuertes, ECB y CableMAX. para el primer trimestre del 2011 la cuota del mercado estaba repartida de la siguiente manera, Telcol 36%; ECB 30% y CableMAX 34%; con un estudio de mercado se logró determinar la tendencia de los clientes actuales a cambiar de empresa para el próximo trimestre:
Para conocer el comportamiento del mercado en el siguiente trimestre, multiplicamos Po* T= P1 y obtenemos que P1 =(0,314; 0,321; 0,365) lo que nos dice que en el siguiente trimestre disminuirá la participación en el mercado de TelCol a 31,4%. En el siguiente periodo tenemos que Po*T2=P2, P2=(0,31486; 0,31179; 0,37335) y en el siguiente trimestre seguirá disminuyendo; asi hasta alcanzar un vector de estado estable para el séptimo trimestre con P7= (0,31250 0,31250 0,37500). en conclusión la empresa TelCol disminuirá su participación en el mercado desde el trimestre inicial para terminar con un 31,25%, lo que debe llevar a la junta directiva de esta organización a tomar acciones preventivas a este evento desarfotunado, deben plantear una estrategia para no perder más mercado e incluso ganar más a futuro, pero esa formulación de estrategias hacen parte de otro campo de la ingeniería industrial. Planeación estratégica.
Es este Archivo de Excel se realizaron los cálculos correspondientes para esta cadena Markov:
Ejemplo comportamiento mercado de Televisión por cable
Existe un método más analítico para determinar el vector en estado estable de una cadena de markov, como se sabe en estado estable Pn= Pn* T, entonces se busca un vector Pn=(x, y z)*T , donde (x + y +z)=1, para el ejercicio de televisión por cable se plantea las siguientes ecuaciones:
Al resolver el sistema se obtiene que (X=0,31250; y=0,31250; Z=0,37500).
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